2021年MPA考研管综初数冲刺复习:均值不等式
更新时间:2020-12-04 13:49:29
来源:环球网校
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摘要 在历年的MPA管理类联考综合能力的初数科目中,不等式中的均值不等式一直作为一个经典的知识点进行考察,为了帮助各位考生查缺补漏,环球网校(环球青藤旗下品牌)小编整理了“2021年MPA考研管综初数冲刺复习:均值不等式”的内容,希望能帮助到各位考生。
均值不等式,又称为平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。
均值不等式定义
Hn≤Gn≤An≤Qn被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数,简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数,它们的算术平均不小于几何平均”的推论。
均值不等式的证明
引理:设A≥0,B≥0,则(A+4102B)n≥An+nAn-1B。
注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。
原题等价于:((a1+a2+…+an )/n)n≥a1a2…an。
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立,即
((a1+a2+…+ak )/k)k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时,不妨设ak+1是a1,a2 ,…,ak+1中最大者,则
k ak+1≥a1+a2+…+ak。
设s=a1+a2+…+ak,
((a1+a2+…+ak+1)/(k+1))k+1
=(s/k+(k ak+1-s)/(k(k+1)))k+1
≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(k ak+1-s)/k(k+1) 用引理
=(s/k)k ak+1
≥a1a2…ak+1用归纳假设
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