MBA数学：从数列递推到N球配对问题
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本篇给出求简单递推数列通项公式的通用解法，并由此思路解一个老题
以下记A(N)为数列第N项
1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求数列通项公式
解：由题意，A(N)+1=2[A(N-1)+1]
即 A(N)+1是以2为首项，2为公比的等比数列
因此 A(N)+1=2^N
数列通项公式为 A(N)=2^N-1
2、通用算法
已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P《》1，求数列通项公式
解：设 A(N)+X=P*[A(N-1)+X]
解得 X=Q/(P-1)
因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)为首项，P为公比的等比数列
由此可算出A(N)通项公式
3、已知A1和A2， A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求数列通项公式
解题思路：设 A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]
代入原式可得出两组解，对两组X，Y分别求出
A(N)+X*A(N-1)的通项公式
再解二元一次方程得出A(N)
注：可能只有一组解，但另有解决办法。
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4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题：
N个球和N个盒子分别编号从1到N，N个球各放入一个盒子，求没有球与盒子编号相同的放法总数。
解：设A(N)为球数为N时满足条件的放法(以下称无配对放法)总数，
易知A1=0，A2=1
当N》2时，一号球共有N-1种放法，假设1号球放入X号盒子
在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球正好放入1号盒子，
问题等价于有N-2个球的无配对放法，放法总数为：A(N-2)
在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球没有放入1号盒子，
则可以把X号球看作1号球，问题等价于有N-1个球的无配对放法，
放法总数为：A(N-1)
因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]
上式可变换为： A(N)-NA(N-1)
=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]
按等比数列得出： A(N)-NA(N-1)=(-1)^N
上式除以N!得出：
A(N) A(N-1) (-1)^N
------- = ---------------- + -----------------
N! (N-1)! N!
把 A(N)/N!当作新的数列， 把(-1)^N/N!也作为一个数列
则 A(N)等于数列 (-1)^N/N!从第二项到第N项的和再乘以N
另外可得出：
N球恰有K球与盒子配对的放法总数为： C(N，K)*A(N-K)
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