2021年MPA考研管综初数专项训练：公约数与公倍数

MPA考研管综初数一、公倍数

公倍数是指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数。

A和B，A/B=C如果A能被B整除，则A为B和C的公倍数两个数A和B，它们的公倍数就是既是A的倍数又是B的倍数的数，即能同时被A、B整除的数 　比如说：12和15，它们的公倍数是60，120，180，等等。在这些公倍数中最小的那一个就叫最小公倍数，就是60。

公倍数分解质因数法：

首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于这两个数全部共有的质因数的代表与各自独有的质因数的乘积。

比如求45和30的最小公倍数。

45=3×3×5

30=2×3×5

30与45共有的质因数是1个3和1个5，而30和45独有的质因数分别是 3和2。即，

最小公倍数等于2×3×3×5=90

小数是不存在最大公因数和最小公倍数的，最大公因数(最大公约数)和最小公倍数只存在于自然数中。

例题：

有一些砖，长宽高分别是15、12、6，请问怎样摆，才能够摆成一个最小的正方体。

解：设15、12、6的最小公倍数是60，所以最小的正方体棱长为60。

60÷15=4

60÷12=5

60÷6=10

答： 长：4块，宽：5块，高：10块，才能摆成一个最小的正方体。

MPA考研管综初数二、公约数

公约数，亦称“公因数”。它是指能同时整除几个整数的数 。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”;公约数中最大的称为最大公约数。对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数。

公约数与公倍数相反，就是既是A的约数同时也是B的约数的数，12和15的公约数有1，3，最大公约数就是3。再举个例子，30和40，它们的公约数有1，2，5，10，最大公约数是10。

最大公约数概念

如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。

质因数分解法

把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

短除法

短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。短除法的本质就是质因数分解法，只是将质因数分解用短除符号来进行。

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