全国05年10月高教自学考试线性代数试题

试卷说明：AT 表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，｜A｜表示方阵A的行列式。
　　一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
　　在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
　　1．设A是3阶方阵，且｜A｜＝－1，则｜2A｜＝（　）
　　A．－8 B．－2
　　C．2 D．8
　　2．设矩阵A＝ ，则A－1＝（　）
　　A． B．
　　C． D．
　　3．设A是n阶方阵，｜A｜＝0，则下列结论中错误的是（　）
　　A．秩（A） 
　　B．A有两行元素成比例
　　C．A的n个列向量线性相关
　　D．A有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合
　　4．若向量组α1，α2，…，αs的秩为r(r 
　　A．多于r个向量的部分组必线性相关 B．多于r个向量的部分组必线性无关
　　C．少于r个向量的部分组必线性相关 D．少于r个向量的部分组必线性无关
　　5．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（　）
　　A．α1＋α2 B．α1－α2
　　C．α1－2α2 D．2α1－α2
　　6．若齐次线性方程组 的基础解系含有两个解向量，则t＝（　）
　　A．2 B．4 
　　C．6 D．8
　　7．设A，B均为n阶矩阵，且秩（A）＝秩（B），则必有（　）
　　A．A与B相似 B．A与B等价
　　C．A与B合同 D．｜A｜＝｜B｜
　　8．设3阶矩阵A的三个特征值是1，0，－2，相应的特征向量依次为 ， ， ，
　　 令P＝ ，则P－1AP＝（　）
　　A． B．
　　C． D．
　　9．设λ0是可逆矩阵A的一个特征值，则2A－1必有一个特征值是（　）
　　A． λ0 B．
　　C．2λ0 D．
　　10．二次型f(x1,x2,x3,x4)= 的秩为（　）
　　A．1 B．2
　　C．3 D．4
　　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
　　 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
　　11．设D＝ ，Aij表示D中（i,j）元素（i,j=1，2，3，4）的代数余子式，则
　　A21＋A22＋A23＋A24＝______________________.
　　12． ＝______________________.
　　13．若A，B均为3阶矩阵，且｜A｜＝2，B＝－3E，则｜AB｜＝_____________________.
　　14．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________.
　　15．设矩阵A＝ ，其中aibi≠0(i=1,2,3).则秩（A）＝_______________.
　　16．设A是n阶矩阵，秩（A） 
　　17．设A为n阶矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b的解的个数为_____________________.
　　18．已知n阶方阵A与B相似，且B2＝E.则A2＋B2＝_____________________.
　　19．设A为n阶矩阵，若行列式｜5E－A｜＝0，则A必有一特征值为__________________.
　　20．二次型 的规范形是_____________________.
　　三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
　　21．计算行列式 的值.
　　22．设A＝ ，B＝ ，矩阵X满足方程AX＝BT，求X.
　　23．求下列向量组的秩和一个最大线性无关组.
　　 α1＝ ，α2＝ ，α3＝ ，α4＝ ，α5＝ ，
　　24．确定λ，μ的值，使线性方程组 有解.
　　25．已知向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(1，0，1)T，求一单位向量α3，使α3与α1，α2都正交.
　　26．用正交变换化二次型 为标准形，并写出所用的正交变换.
　　四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
　　27．设A是n阶方阵，｜A｜≠0，证明｜A*｜=｜A｜n-1.
　　28．已知n阶方阵A的各行元素之和均为a，证明向量x=(1，1，…，1)T为A的一个特征向量，并求相应的特征值.