全国05年10月高教自学考试线性代数试题
更新时间：2009-10-19 15:27:29
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试卷说明：AT 表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，｜A｜表示方阵A的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A是3阶方阵，且｜A｜＝－1，则｜2A｜＝（ ）
A．－8 B．－2
C．2 D．8
2．设矩阵A＝ ，则A－1＝（ ）
A． B．
C． D．
3．设A是n阶方阵，｜A｜＝0，则下列结论中错误的是（ ）
A．秩（A）
B．A有两行元素成比例
C．A的n个列向量线性相关
D．A有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合
4．若向量组α1，α2，…，αs的秩为r(r
A．多于r个向量的部分组必线性相关 B．多于r个向量的部分组必线性无关
C．少于r个向量的部分组必线性相关 D．少于r个向量的部分组必线性无关
5．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（ ）
A．α1＋α2 B．α1－α2
C．α1－2α2 D．2α1－α2
6．若齐次线性方程组 的基础解系含有两个解向量，则t＝（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
7．设A，B均为n阶矩阵，且秩（A）＝秩（B），则必有（ ）
A．A与B相似 B．A与B等价
C．A与B合同 D．｜A｜＝｜B｜
8．设3阶矩阵A的三个特征值是1，0，－2，相应的特征向量依次为 ， ， ，
令P＝ ，则P－1AP＝（ ）
A． B．
C． D．
9．设λ0是可逆矩阵A的一个特征值，则2A－1必有一个特征值是（ ）
A． λ0 B．
C．2λ0 D．
10．二次型f(x1,x2,x3,x4)= 的秩为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设D＝ ，Aij表示D中（i,j）元素（i,j=1，2，3，4）的代数余子式，则
A21＋A22＋A23＋A24＝______________________.
12． ＝______________________.
13．若A，B均为3阶矩阵，且｜A｜＝2，B＝－3E，则｜AB｜＝_____________________.
14．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________.
15．设矩阵A＝ ，其中aibi≠0(i=1,2,3).则秩（A）＝_______________.
16．设A是n阶矩阵，秩（A）
17．设A为n阶矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b的解的个数为_____________________.
18．已知n阶方阵A与B相似，且B2＝E.则A2＋B2＝_____________________.
19．设A为n阶矩阵，若行列式｜5E－A｜＝0，则A必有一特征值为__________________.
20．二次型 的规范形是_____________________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．计算行列式 的值.
22．设A＝ ，B＝ ，矩阵X满足方程AX＝BT，求X.
23．求下列向量组的秩和一个最大线性无关组.
α1＝ ，α2＝ ，α3＝ ，α4＝ ，α5＝ ，
24．确定λ，μ的值，使线性方程组 有解.
25．已知向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(1，0，1)T，求一单位向量α3，使α3与α1，α2都正交.
26．用正交变换化二次型 为标准形，并写出所用的正交变换.
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．设A是n阶方阵，｜A｜≠0，证明｜A*｜=｜A｜n-1.
28．已知n阶方阵A的各行元素之和均为a，证明向量x=(1，1，…，1)T为A的一个特征向量，并求相应的特征值.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A是3阶方阵，且｜A｜＝－1，则｜2A｜＝（ ）
A．－8 B．－2
C．2 D．8
2．设矩阵A＝ ，则A－1＝（ ）
A． B．
C． D．
3．设A是n阶方阵，｜A｜＝0，则下列结论中错误的是（ ）
A．秩（A）
B．A有两行元素成比例
C．A的n个列向量线性相关
D．A有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合
4．若向量组α1，α2，…，αs的秩为r(r
A．多于r个向量的部分组必线性相关 B．多于r个向量的部分组必线性无关
C．少于r个向量的部分组必线性相关 D．少于r个向量的部分组必线性无关
5．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是（ ）
A．α1＋α2 B．α1－α2
C．α1－2α2 D．2α1－α2
6．若齐次线性方程组 的基础解系含有两个解向量，则t＝（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
7．设A，B均为n阶矩阵，且秩（A）＝秩（B），则必有（ ）
A．A与B相似 B．A与B等价
C．A与B合同 D．｜A｜＝｜B｜
8．设3阶矩阵A的三个特征值是1，0，－2，相应的特征向量依次为 ， ， ，
令P＝ ，则P－1AP＝（ ）
A． B．
C． D．
9．设λ0是可逆矩阵A的一个特征值，则2A－1必有一个特征值是（ ）
A． λ0 B．
C．2λ0 D．
10．二次型f(x1,x2,x3,x4)= 的秩为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设D＝ ，Aij表示D中（i,j）元素（i,j=1，2，3，4）的代数余子式，则
A21＋A22＋A23＋A24＝______________________.
12． ＝______________________.
13．若A，B均为3阶矩阵，且｜A｜＝2，B＝－3E，则｜AB｜＝_____________________.
14．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________.
15．设矩阵A＝ ，其中aibi≠0(i=1,2,3).则秩（A）＝_______________.
16．设A是n阶矩阵，秩（A）
17．设A为n阶矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b的解的个数为_____________________.
18．已知n阶方阵A与B相似，且B2＝E.则A2＋B2＝_____________________.
19．设A为n阶矩阵，若行列式｜5E－A｜＝0，则A必有一特征值为__________________.
20．二次型 的规范形是_____________________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．计算行列式 的值.
22．设A＝ ，B＝ ，矩阵X满足方程AX＝BT，求X.
23．求下列向量组的秩和一个最大线性无关组.
α1＝ ，α2＝ ，α3＝ ，α4＝ ，α5＝ ，
24．确定λ，μ的值，使线性方程组 有解.
25．已知向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(1，0，1)T，求一单位向量α3，使α3与α1，α2都正交.
26．用正交变换化二次型 为标准形，并写出所用的正交变换.
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