2021年考研冲刺复习，高数之无穷级数
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2021年考研冲刺复习，高数之无穷级数
无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和;发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法。
算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数(又包括幂级数、傅氏级数;复变函数中的泰勒级数、洛朗级数)。
收敛半径和收敛区间
级数的每一项也可以是函数，这种级数称为函数项级数。
这里我们讨论一种特定的函数项级数，即由如下形式的幂函数组成的级数，称为幂级数。
也可以直接写成。幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛;反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。
上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。
比较审敛法
⑴一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。
⑵反之，一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都大于或等于一个已知发散的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定发散。
如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：对于正项级数和 ，如果 ，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。
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